सरासरी

📚🎯गणितातील महत्वाची सूत्रे (भाग 2)

सरासरी :-

1) N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या

 

2) क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते.

उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16  या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14

 

संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी

 

n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2

 

उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13

 

2) 1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10

 

3) N या क्रमश:  संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2

 

उदा. 1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81x20/2 = 810

 

(31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20) 

 

 सरळव्याज :-

·         सरळव्याज (I) = P×R×N/100

·         मुद्दल (P) = I×100/R×N

·         व्याजदर (R) = I×100/P×N

·         मुदत वर्षे (N) = I×100/P×R

·         चक्रवाढव्याज  रास (A)= P×(1+R/100)n, n= मुदत वर्षे  

 नफा तोटा :-

·         नफा = विक्री – खरेदी    
 

·         विक्री = खरेदी + नफा     

·         खरेदी = विक्री + तोटा 

·         तोटा = खरेदी – विक्री    
 

·         विक्री = खरेदी – तोटा   
 

·         खरेदी = विक्री – नफा 

·         शेकडा नफा = प्रत्यक्ष नफा × 100/ खरेदी 

·         शेकडा तोटा = प्रत्यक्ष नफा × 100/ खरेदी 

·         विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत × (100+ शेकडा नफा)/100 

·         विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत × (100 – शेकडा तोटा) / 100 

·         खरेदीची किंमत = (विक्रीची किंमत × 100) / (100 + शेकडा नफा)

·         खरेदीची किंमत = (विक्रीची किंमत × 100) / (100 – शेकडा नफा)  

 आयात, चौरस, त्रिकोण, कोन :-

·         आयत -
आयताची परिमिती = 2×(लांबी+रुंदी)   
    

·         आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी×रुंदी 

·         आयताची लांबी = (परिमिती ÷ 2) – रुंदी    
 

·         आयताची रुंदी =(परिमिती÷2) – लांबी 

·         आयताची रुंदी दुप्पट व लांबी निमपट केल्यास क्षेत्रफळ तेवढेच राहते.

·         आयताची लांबी व रुंदी दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते. 

·         चौरस -

·         चौरसाची परिमिती= 4×बाजूची लांबी     

·         चौरसाचे क्षेत्रफळ=(बाजू)2 किंवा (कर्ण)2/2 

·         चौरसाची बाजू दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते. 

·         दोन चौरसांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्यांच्या बाजूंच्या मापांच्या वर्गाच्या पटीत असते.

   समभुज चौकोण -

·         समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ     

·         = कर्णाच्या लांबीचा गुणाकार/2 

·         समलंब चौकोण -

·         समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = समांतर बाजूंच्या लांबीचा बेरीज×लंबांतर/2 

·         समलंब चौकोनाचे लंबांतर = क्षेत्रफळ×2/समांतर बाजूंची बेरीज 

·         समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजूंची बेरीज = क्षेत्रफळ×2/लबांतर 

·         त्रिकोण -

·         त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची/2

·         काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ    
 

·          

·         = काटकोन करणार्‍या बाजूंचा गुणाकार/2

·          

·         पायथागोरस सिद्धांत -

·         काटकोन त्रिकोणात (कर्ण)2 = (पाया)2+(उंची)2 

 प्रमाण भागिदारी :-

·         नफयांचे गुणोत्तर = भंडावलांचे गुणोत्तर × मुदतीचे गुणोत्तर 

·         भंडावलांचे गुणोत्तर = नफयांचे गुणोत्तर ÷ मुदतीचे गुणोत्तर 

·         मुदतीचे गुणोत्तर = नफयांचे गुणोत्तर ÷ भंडावलांचे गुणोत्तर 

 गाडीचा वेग – वेळ – अंतर :-

A) खांब ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ = गाडीची लांबी/ताशी वेग × 18/5 

B) पूल ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ = गाडीची लांबी + पूलाची लांबी / ताशी वेग × 18/5 

C) गाडीचा ताशी वेग  = कापवयाचे एकूण एकूण अंतर / लागणारा वेळ  × 18/5

 

D) गाडीची लांबी  = ताशी वेग × खांब ओलांडताना लागणारा वेळ × 5/18

 

E) गाडीची लांबी + पूलाची लांबी = ताशी वेग × पूल ओलांडताना लागणारा वेळ × 5/18

 

F) गाडीची ताशी वेग व लागणारा वेळ काढताना 18/5 ने गुण व अंतर काढताना 5/18 ने गुणा.

1 तास = 3600 सेकंद / 1 कि.मी. = 1000 मीटर  = 3600/1000 = 18/5

 

G) पाण्याचा प्रवाहाचा ताशी वेग = (नावेचा प्रवाहाच्या दिशेने ताशी वेग – प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने ताशी वेग) ÷ 2

 

H) गाडीने कापावायचे एकूण अंतर – गाडीची लांबी = बोगध्याची लांबी

 

I) भेटण्यास दुसर्‍या गाडीला लागणारा वेळ

 

= वेळेतील फरक × पहिल्या गाडीचा वेग / वेगातील फरक

 

लागणारा वेळ = एकूण अंतर / दोन गाड्यांच्या वेगांची बेरीज

 

************************************************

विभ्याजतेच्या कसोट्या नोट्स

💠 विभ्याजतेच्या कसोट्या नोट्स
#Maths #imp #notes

♦️ व्याख्या
१ ची कसोटी

१ या संख्येने कोणत्याही संख्येस निःशेष भाग जातो. आणि  भागाकार तीच संख्या असते

२ ची कसोटी

ज्या संख्येच्या एकक स्थानी ०,२,४,६,८ यापैकी एखादा अंक असतो त्या संख्येस २ ने निःशेष भाग जातो.

३ ची कसोटी

दिलेल्या संख्येतील अंकाची बेरीज केल्यास येणाऱ्या बेरजेस जर ३ ने पूर्ण भाग जात असेल तर त्या संपूर्ण संख्येस ३ ने निःशेष भाग जातो.

४ ची कसोटी

दिलेल्या संख्येतील एकक व दशक स्थानच्या अंकांना मिळवून तयार होणाऱ्या २ अंकी संख्येस जर ४ने पूर्ण भाग जात असेल तर त्या संपूर्ण संख्येस ४ ने निःशेष भाग जातो. तसेच ज्या संख्येच्या एकक व दशक स्थानी ० येत असेल तर त्या संपूर्ण संख्येस ४ ने निःशेष भाग जातो.

५ ची कसोटी

ज्या संख्येच्या एकक स्थानी ० किंवा ५ पैकी एक अंक असेल तर त्या संख्येस ५ ने निःशेष भाग जातो

६ ची कसोटी

ज्या संख्येस २ व ३ या दोन्ही संख्येने पूर्ण भाग जात असेल तर त्या संपूर्ण संख्येस ६ ने निःशेष भाग जातो

७ ची कसोटी

दिलेल्या संख्येतील एखादा अंक जर क्रमवार ६ च्या पटीत येत असेल तर त्या संपूर्ण संख्येस ७ ने निःशेष भाग जातो.

दिलेल्या संख्येतील एकक स्थानच्या अंकाला २ ने गुणून उरलेल्या संख्येतून वजा केल्यास येणारी वजाबाकी जर ० किंवा ७ च्या पटीत असेल तर त्या संपूर्ण संख्येस ७ ने निःशेष भाग जातो.

८ ची कसोटी

दिलेल्या संख्येतील एकक, दशक व शतक स्थानच्या अंकांना मिळवून तयार होणाऱ्या तीन अंकी संख्येस जर ८ ने पूर्ण भाग जात असेल तर त्या संपूर्ण संख्येस ८ ने निःशेष भाग जातो. तसेच ज्या संख्येच्या एकक,दशक व शतक स्थानी ० येत असेल तर त्या संख्येस ८ ने निःशेष भाग जातो.

९ ची कसोटी

दिलेल्या संख्येतील अंकांची बेरीज करून येणाऱ्या बेरजेस जर ९ ने पूर्ण भाग जात असेल तर त्या संपूर्ण संख्येस ९ ने निःशेष भाग जातो.

१० ची कसोटी

ज्या संख्येच्या एकक स्थानी ० असते  त्या सर्व संख्येस १० ने निःशेष भाग जातो.

११ ची कसोटी

दिलेल्या संख्येतील समस्थानी आणि विषमस्थानी असणाऱ्या अंकांची बेरीज करून त्या बेरजेतील फरक जर ० किंवा ११च्या पटीत येत असेल तर त्या संपूर्ण संख्येस ११ ने निःशेष भाग जातो.

१२ ची कसोटी

ज्या संख्येला ३ आणि ४ या दोन्ही संख्यांनी पूर्ण भाग जात असेल तर त्या पूर्ण संख्येस १२ ने निःशेष भाग जातो.

१४ ची कसोटी

ज्या संख्येला ७ आणि २ या दोन्ही संख्यांनी पूर्ण भाग जात असेल तर त्या पूर्ण संख्येस १४ ने निःशेष भाग जातो.

१५ ची कसोटी

ज्या संख्येला ३ आणि ५ या दोन्ही संख्यांनी पूर्ण भाग जात असेल तर त्या पूर्ण संख्येस १५ ने निःशेष भाग जातो.

१८ ची कसोटी

ज्या संख्येला २ आणि ९ या दोन्ही संख्यांनी पूर्ण भाग जात असेल तर त्या पूर्ण संख्येस १८ ने निःशेष भाग जातो.

२० ची कसोटी

ज्या संख्येला ४ आणि ५ या दोन्ही संख्यांनी पूर्ण भाग जात असेल तर त्या पूर्ण संख्येस २० ने निःशेष भाग जातो.

२१ ची कसोटी

ज्या संख्येला ७ आणि ३ या दोन्ही संख्यांनी पूर्ण भाग जात असेल तर त्या पूर्ण संख्येस २१ ने निःशेष भाग जातो.

२२ ची कसोटी

ज्या संख्येला २ आणि ११ या दोन्ही संख्यांनी पूर्ण भाग जात असेल तर त्या पूर्ण संख्येस २२ ने निःशेष भाग जातो.

२४ ची कसोटी

ज्या संख्येला ३ आणि ८ या दोन्ही संख्यांनी पूर्ण भाग जात असेल तर त्या पूर्ण संख्येस २४ ने निःशेष भाग जातो.

३० ची कसोटी

ज्या संख्येला ३ आणि १० या दोन्ही संख्यांनी पूर्ण भाग जात असेल तर त्या पूर्ण संख्येस २४ ने निःशेष भाग जातो.

उदाहरणे
खालीलपैकी कोणत्या संख्येस 3 ने निःशेष भाग जाईल
a. 3256     b. 46732     c. 98673     d. 53216
उत्तर :-
a. 3256, 3+2+5+6=16
b. 46732, 4+6+7+3+2=22
c. 98673, 9+8+6+7+3=33
33 या संख्येला ३ ने निःशेष भाग जातो म्हणून पर्याय c याचे उत्तर असेल.

सम संख्यांचे गुणधर्म व इतर भौमितिक सूत्रे आणि मापन

📖 MPSC Maths Marathi🌷:
⭕️ सम संख्यांचे गुणधर्म ⭕️

💢 सर्व सम संख्यांना 2 ने नि:शेष भाग जातो.

💢 क्रमागत सम संख्यात 2 था फरक असतो.

💢 कोणत्याही नैसर्गिक संख्यांची दुप्पट सम संख्या असते.

💢 दोन किंवा जास्त सम संख्याची बेरीज, गुणाकर, वजाबाकी, ही सम संख्याच असते.

💢 कोणत्याही सम संख्येत एक मिळवल्यास किवा वजा केल्यास विषम संख्या मिळते.

⭕️  पूर्णांक संख्या ( I)  ⭕️

➡️ धन संख्या, ॠण संख्या व शून्य या संख्यांना पूर्णांक संख्या म्हणतात.

उदा:

-3,-2,-1

0

1,2,3

➡️" 0 "हा मध्यवर्ती बिंदू आहे.

1) सर्वात मोठी ॠणपूर्णांक संख्या = -1
2) सर्वात लहान किंवा सर्वात मोठी पूर्णांक संख्या सांगता येत नाही.

⭕️  पूर्ण संख्या ( W)   ⭕️

➡️ 0,1,2,3,--------------या संख्यांना पूर्ण संख्या म्हणतात.
➡️ सर्वात लहान पूर्ण संख्या - 0
➡️ सर्वात मोठा पूर्ण संख्या सांगता येत नाही.

⭕️ नैसर्गिक संख्या ( N) ⭕️

➡️ 1,2,3,4,------------या संख्यांना नैसर्गिक संख्या म्हणतात.
➡️ ह्या संख्या वस्तू मोजण्यासाठी वापरतात म्हणून यांना मोजसंख्या म्हणतात.
➡️ नैसर्गिक संख्यांची बेरीज नैसर्गिक संख्या येते.
➡️ नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकर नैसर्गिक संख्या येतो.
➡️ सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या - 1

MPSC_maths_marathi

__________________________

📚 इतर भौमितिक सूत्रे -

1.    समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची 

2.    समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2×कर्णाचा गुणाकार 

3.    सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)2

4.    वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवा θ/360×πr2

5.    वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = θ/180×πr

6.    घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)2

7.    दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh 

8.    अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr2

9.    अर्धगोलाचे घनफळ = 2/3πr3

10. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )

11. शंकूचे घनफळ = 1/3 πr3h  

12. समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2

13. दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h) 

14. अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr2 

15. (S = 1/2 (a+b+c) = अर्ध परिमिती)  

16. वक्रपृष्ठ = πrl

17. शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr2 + π r (r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी 

____________________________

🍃💝 मापन 💝🍃

🔳 मोजमाप करणे याला मापन  म्हणतात. अंतर, वस्तुमान, तापमान, काळ, ह्या राशी आहेत.
🔳 एक हेक्टार - १०००० हजार चौरस मीटर जमीन

🔳 एखाद्या भांड्यात किती द्रव मावेल याला त्या भांड्याची धारकता म्हणतात.

🔳 MKS - यात लांबी मीटरमध्ये, वस्तुमान किलोग्राममध्ये, व काल सेकंदात मोजतात.

🔳 CGS -  या पद्धतीत लांबी सेंटीमीटरमध्ये वस्तुमान किलोग्राम व काल सेकंदात

🔳 १ मेट्रिक टन = १०००  कि. ग्रा.

🔳 १ लिटर = १००० मीली

वर्तुळ व घनफळ

📖 MPSC Maths Marathi🌷:
⚫️ वर्तुळ  ⚫️

1.    त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात. 

2.    वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्‍या व वर्तुळाच्या परिघावरील दोन बिंदुना जोडणार्याह रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात. 

3.    वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येचा (R च्या) दुप्पट असतो. 

4.    जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.

5.    व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय. 

6.    वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/12 पट असतो. 

7.    वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7 पट असतो. 

8.    वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D 

9.    अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D = वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) × 36/7 

10. अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36 

11. वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)2 = πr2 (π=22/7 अथवा 3.14)

12. वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22   

13. वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30 

14. अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r2 

15. अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36 

16. दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परिघांचे गुणोत्तर. 

17. दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तराच्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते. 

______________________________

📚 घनफळ - 📚

1.    इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)

2.    काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची 

3.    गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r3 (r=त्रिज्या)

4.    गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r2     

5.    घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)3

6.    घनचितीची बाजू = ∛घनफळ

7.    घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते. 

8.    घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)2 

9.    वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे) घनफळ = π×r2×h 

10. वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r2 = घनफळ×7/22×r2 

11. वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r2 = √घनफळ×(7/22)/h 

_____________________________

१०० आर
३२ )    १एकर= ४००० चौ .मी
(३३)   १मीटर= १०० सेंटिमीटर
(३४)    अर्धा  मीटर= ५० सेंटिमीटर
(३५)    पाव मीटर = २५ सेंटिमीटर
(३६)    पाऊण मीटर =७५ सेंटिमीटर
(३७)   १ लीटर = १००० मिलिलीटर
(३८)   अर्धा  लीटर= ५०० मिलिलीटर
(३९)    पाव लीटर = २५० मिलिलीटर
(४०)    पाऊण लीटर = ७५० मिलिलीटर
(४१)    १ किलोग्रॅम = १०००  ग्रॅम
(४२)    अर्धा  किलोग्रॅम=५०० ग्रँम
(४३)    पाव किलोग्रॅम=२५० ग्रँम
(४४)    पाऊण किलोग्रॅम = 750 ग्रँम
(४५)    १ किलोमीटर = १००० मीटर
(४६)    अर्धा  किलोमीटर  =५०० मीटर
(४७)    पाव  किलोमीटर =२५० मीटर
(४८)    पाऊण किलोमीटर =७५० मीटर
(४९)   १हजार=१०००
(५०)   अर्धा  हजार =५००
(५१)   पाव हजार =२५०
(५२)   पाऊण हजार  =७५०
(५३)   १२ इंच =१ फूट 
(५४)   ३ फूट =१ यार्ड
(५५)   १ मैल =५२८० फूट
(५६)   १ क्विंटल =१००किलोग्रॅम
(५७)   अर्धा  क्विंटल =५० किलोग्रॅम
(५८)   पाव क्विंटल =२५ किलोग्रॅम
(५९)   पाऊण क्विंटल = ७५ किलोग्रॅम
(६०)   १ टन= १० क्विंटल

🎯वर्तुळ -सूत्र

त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.

वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्‍या व वर्तुळाच्या परिघावरील दोन बिंदुना जोडणार्याह रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात.

वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येचा (R च्या) दुप्पट असतो.

जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.

व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय.

वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/12 पट असतो.

वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7 पट असतो.

वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D

अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D = वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) × 36/7

अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)2 = πr2 (π=22/7 अथवा 3.14)

वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22  

वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30

अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r2

अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36

दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परिघांचे गुणोत्तर.

दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तराच्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते.

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ व परीघ -


@घनफळ -

इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)

काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची

गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r3 (r=त्रिज्या)

गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r2    

घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)3

घनचितीची बाजू = ∛घनफळ

घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते.

घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)2

वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे) घनफळ = π×r2×h

वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r2 = घनफळ×7/22×r2

वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r2 = √घनफळ×(7/22)/h

इतर भौमितिक सूत्रे -

समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2×कर्णाचा गुणाकार

सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)2

वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवा θ/360×πr2

वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = θ/180×πr

घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)2

दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh

अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr2

अर्धगोलाचे घनफळ = 2/3πr3

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )

शंकूचे घनफळ = 1/3 πr3h 

समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2

दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h)

अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr2

(S = 1/2 (a+b+c) = अर्ध परिमिती) 

वक्रपृष्ठ = πrl

शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr2 + π r (r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी

@बहुभुजाकृती -

n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज (2n-4) काटकोन असते, म्हणजेच 180(n-2)0 किंवा [90×(2n-4)]0 असते.

सुसम बहुभुजाकृतीचे सर्व कोन एकरूप असतात व सर्व बाजू एकरूप असतात.

बहुभुजाकृतीच्या बाह्य कोनांच्या मापांची 3600 म्हणजेच 4 काटकोन असते.

n बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बहयकोनाचे माप हे 3600/n असते.

सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या = 3600/बाहयकोनाचे माप

बहुभुजाकृतीच्या कर्णाची एकूण संख्या = n(n-3)/2

उदा. सुसम षटकोनाचे

१ ते १०० संख्यांच्या बेरजा

💻१  ते  १०० संख्यांच्या बेरजा

(१) १ ते १० पर्यंत संख्यांची बेरीज -
      १+२+३+४+५+६+७+८+९+१०=५५

(२) ११ ते २०पर्यंत संख्यांची बेरीज -
     ११+१२+१३+१४+१५+१६+१७+
     १८+१९+२० = १५५

(३) २१ ते ३० पर्यंत संख्यांची बेरीज -
      २१+२२+२३+२४+२५+२६+२७+
      २८+२९+३० = २५५

(४) ३१ ते ४० पर्यंत संख्यांची बेरीज -
      ३१+३२+३३+३४+३५+३६+३७+
      ३८+३९+४० = ३५५

(५) ४१ ते ५० पर्यंत संख्यांची बेरीज -
     ४१+४२+४३+४४+४५+४६+४७+
     ४८+४९+५० = ४५५

(६) ५१ ते ६० पर्यंत संख्यांची बेरीज -
      ५१+५२+५३+५४+५५+५६+५७+
      ५८+५९+६० = ५५५

(७) ६१ ते ७० पर्यंत संख्यांची बेरीज -
      ६१+६२+६३+६४+६५+६६+६७+
      ६८+६९+७० = ६५५

(८) ७१ ते ८० पर्यंत संख्यांची बेरीज -
      ७१+७२+७३+७४+७५+७६+७७+
      ७८+७९+८० = ७५५

(९) ८१ ते ९० पर्यंत संख्यांची बेरीज -
      ८१+८२+८३+८४+८५+८६+८७+
      ८८+८९+९० = ८५५

(१०) ९१ ते १०० पर्यंत संख्यांची बेरीज -
        ९१+९२+९३+९४+९५+९६+९७+
        ९८+९९+१०० = ९५५

काटकोन ञिकोण व पायथागोरस चा प्रमेय

🛶🛶 काटकोन ञिकोण व पायथागोरस चा प्रमेय🛶🛶

🥨🥨🥨🥨🥨🥨🥨🥨🥨🥨🥨🥨🥨🥨🥨

🎯काटकोन ञिकोण
~~~~~

   *ज्या ञिकोणाचा एक कोन 90° चा /काटकोन असतो त्या ञिकोणास काटकोन ञिकोण म्हणतात*
=============================

          *काटकोन ञिकोणाची  वैशिष्ट्ये*  

1]  *एक कोन 90° चा* असतो.

2]    इतर दोन कोन *लघुकोन  असुन एकमेकांचे कोटीकोन* असतात

3] *90° कोन* समोरील बाजूला कर्ण म्हणतात .

4 ] काटकोन ञिकोणात *सर्वात मोठी बाजू कर्ण*असते

==============================

*काटकोन ञिकोण*   आकृती

    A  
    |\
    |  \
    |    \
    |      \
    |        \ 
    |          \     *कर्ण*
    |            \ 
    | 90°      \
    |_________\
   B                C 

काटकोन करणाऱ्या बाजू...
AB  व BC 

*कर्ण*   = AC 

*पायथागोरसचा प्रमेय*....
" *काटकोन ञिकोणात कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन बाजू च्या वर्गाच्या  बेरजेइतका असतो* "

( कर्ण)²  = (एक बाजू )² + ( दुसरी बा.)²

AC² = AB² + BC²
~~~~~

प्रश्न
काटकोन ञिकोणात बाजू
    6 सेमी , 8 सेमी असतील तर कर्ण किती असेल ?

*स्पष्टीकरण*
==========

✍ Join 👇👇👇👇
@MPSC_maths_marathi

*काटकोन ञिकोण*   आकृती

    A  
    |\
    |  \
    |    \
    |      \
    |        \ 
    |          \     *कर्ण*
8 |            \ 
    | 90°       \
    |_________\
   B      6          C 

काटकोन करणाऱ्या बाजू...
AB  व BC 

*कर्ण*   = AC 

*पायथागोरसचा प्रमेय*....
" *काटकोन ञिकोणात कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन बाजू च्या वर्गाच्या  बेरजेइतका असतो* "

( कर्ण)²  = (एक बाजू )² + ( दुसरी बा.)²

AC² = AB² + BC²
       =8²+6²
       =64+36=100
Taking square root

*AC=10cm*                                                   
==============================

[  2 ]  प्रश्न क्रमांक ....002

काटकोन ञिकोणात बाजू
    7 सेमी , व कर्ण 25 सेमी असतील तर दुसरी बाजू किती असेल ?

*स्पष्टीकरण*
~~~~
*काटकोन ञिकोण*   आकृती

    A  
    |\
    |  \
    |    \
    |      \
    |        \ 
    |          \     *25कर्ण*
? |            \ 
    | 90°      \
    |_________\
   B      7        C 

काटकोन करणाऱ्या बाजू...
AB  व BC 

*कर्ण*   = AC  =25

*पायथागोरसचा प्रमेय*....
" *काटकोन ञिकोणात कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन बाजू च्या वर्गाच्या  बेरजेइतका असतो* "

( कर्ण)²  = (एक बाजू )² + ( दुसरी बा.)²

AC² = AB² + BC²
  25²  =AB² + 7²
  
AB² = 625 - 49

AB² = 576

AB = 24 ✅                                           
==============================

*पायथागोरस ञिकुट* 
================

ज्या तीन संख्या पायथागोरस चा प्रमेय नुसार.....असतील त्या पायथागोरस ञिकुट असे म्हणतात .

*उदाहरणार्थ*
➡  ( 6, 8 , 10)
➡  ( 7, 24 , 25 )
➡ ( 5 , 12 , 13 )
➡  ( 12 , 16 , 20 )

अशी असंख्य ञिकुट सांगता येतील .
============================
3n , 4n , 5n ....

5n , 12n , 13n......

8n , 15n , 17n.....

7n , 24n , 25n......

12n , 35n , 37n....

9n , 40n , 41n.....

11n , 60n , 61n......

n = 1 , 2 , 3 , 4.....कोणत्याही ही किंमत ठेवून असंख्य ञिकुट मिळतील.....