गुणोत्तर व प्रमाण

गुणोत्तर व प्रमाण यांच्या विषयी संपूर्ण माहिती

दोन किवा त्यापेक्षा अधिक सजातीय राशींची केलेली तुलना म्हणजे गुणोत्तर होय.
ज्या राशींचे गुणोत्तर काढायचे त्यांची एकके समान करून घ्यावीत.
गुणोत्तर हा समान एकके असलेल्या राशींचा भागाकार असतो म्हणून त्यास एकके नसतात.
A व B या दोन संख्यामध्ये A चे B शी असलेले गुणोत्तर A/B or A:B असे लिहावे.
तसेच B चे A शी असलेले गुणोत्तर B/A or B:A

संपूर्ण संख्याशास्त्र

Ex. 50cm चे 2m शी गुणोत्तर

2m = 2*100 = 200

50/200 = 1/4 = 1:4

A,B,C,D ह्या चार संख्या A:B=C:D अशा पद्धतीने असतील म्हणजे त्या चार संख्या A/B = C/D प्रमाणात असतात.

पहिली आणि शेवटची संख्या यांना अंत्यपदे म्हणतात.
आणि मधल्या दोन संख्यांना मध्यपदे म्हणतात.
(Note: अंत्यपदांचा गुणाकार=मध्यपदांचा गुणाकार जेव्हा त्या संख्या प्रमाणात असतील तेव्हा)
ex. 2,4,6,12
2/4 = 6/2

1/2 = 3/1

A,B,C ह्या तीन संख्या प्रमाणात असतील म्हणजे त्या तीन संख्या A/B = B/C = B2=AC

(Note: मध्यपदाचा वर्ग=अंत्यपदांचा गुणाकार जेव्हा त्या संख्या प्रमाणात असतील तेव्हा)
ex. m,100,250 ह्या प्रमाणात आहेत तर m=?
(100)2=m*250

1000=250*m

m=1000/250=40

दोन संख्यांची बेरीज A असते व वजाबाकी B असते तेव्हा त्या दोन संख्येचे एकमेकांशी गुणोत्तर

A+B/A-B

अपूर्णाकाचे गुणोत्तर :

गुणोत्तर म्हणजे भागाकर असतो त्यामुळे अपूर्णाकाचे गुणोत्तर काढतांना पहिला अपूर्णाक तसाच ठेवून दुसर्‍या अंकाचा गुणाकार व्यस्त घ्यावा व गुणाकार करावा.

ex.2/3 चे 5/7

2/3*7/5 = 14/15

दशांश अपूर्णाकाचे गुणोत्तर :

दशांश अपूर्णाकाचे गुणोत्तर काढतांना त्या संख्येमध्ये दशांश चिन्हानंतर समान अंक करून घ्यावे आणि मग दशांश चिन्ह काढून मग संक्षिप्त रूप द्यावे.

ex. 0.25 चे 0.3

25 / 30 = 5:6

दोन समभुज त्रिकोणाच्या बाजू/दोन चौरसाच्या बाजू/दोन वर्तुळाच्या त्रिज्या यांचे प्रमाण A:B असेल तर त्यांच्या क्षेत्रफळाचे प्रमाण A2: B2असते.

ex. समभुज त्रिकोणाच्या बाजू = 4:5
क्षेत्रफळाचे प्रमाण (4)2:(5)2 =16:25

दोन घनांच्या बाजूचे प्रमाण/दोन गोलांच्या त्रिज्येचे गुणोत्तर तर त्यांच्या घनफळाचे गुणोत्तर A3:B3

ex. दोन घनांच्या बाजूचे प्रमाण 6:7

घनांचे प्रमाण (6)3: (7)3 = 36:49

उदाहरणे :

नमूना पहिला –
उदा. 9/15=x/70;  ∶:  x=?

128
42
39
56
उत्तर : 42

नियम :-
a/b=c/d   तर ad×bc
उदा.दिल्याप्रमाणे 9/15=X70=15x=9×70 ;
∶: x =9×70/15=42 किंवा
∷9/15=x/70
3×14/5×14= 42/70
(3:5 या प्रमाणात अंश व छेद आहेत)
नमूना दूसरा –
उदा. दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर 4:5 आहे, तर त्यांच्या परिघांचे गुणोत्तर किती?

22/7:1
7:22
4:5
5:4
उत्तर : 4:5

स्पष्टीकरण :-
(परिघांचे गुणोत्तर=त्रिज्यांचे गुणोत्तर)
नमूना तिसरा –
उदा. एका त्रिकोणाच्या बाहयकोनांच्या मापांचे गुणोत्तर 3:7:8 आहे.; तर त्या त्रिकोणाच्या आंतर कोनांपैकी सर्वात मोठा कोन किती मापाचा असेल?

1800
1440
1600
1200
उत्तर : 1200

स्पष्टीकरण :-
त्रिकोणाच्या बाह्य कोनांची बेरीज = 3600. सूत्रांनुसार 3+7+8=18 भाग = 3600
:: 1 भाग = 200, लहान बाह्यकोनाचा आंतरकोन मोठा असतो.
लहान बाहयकोन = 3×20=600
मोठा आंतरकोन = 180-60 = 1200
नमूना चौथा –
उदा. विनू व सदू यांच्या वयांचे गुणोत्तर 5:3 आहे, सदू व मधु यांच्या वयांचे गुणोत्तर 4:7 आहे, तर विनू व मधू यांच्या वयांचे गुणोत्तरकिती?

9:10
3:7
20:21
20:35
उत्तर : 20:21

क्लृप्ती :-
विनू     सदू     मधू
5     3
4     7
विनू व मधू यांच्या वयांचे गुणोत्तर 20:21
20 : 12 : 21
नमूना पाचवा –
उदा. पाच लीटरच्या 40% अल्कोहोल असलेल्या द्रवणात 3 लीटर पाणी मिसळविल्यास  नवीन द्रवणातील अल्कोहोलचे प्रमाण किती टक्के होईल?

20%
25%
27.5%
30%
उत्तर : 25%

स्पष्टीकरण :
5 लीटरचे 40% = 5+3=8 लीटरचे किती टक्के?
5 चे 40%= 8 चे x%
x% = 5×40/8
= 5×5
= 25%
नमूना सहावा –
उदा. पाच लीटर औषधी द्रावणात 6% अल्कोहोल असलेले किती लीटर द्रावण मिळवावे, म्हणजे नवीन द्रावणातील अल्कोहोलचे प्रमाण 2% होईल?

3 ली.
2.5 ली.
3.5 ली.
4 ली.
उत्तर : 2.5 ली.

स्पष्टीकरण :-
अल्कोहोल असलेले द्रावण x लीटर मानू.
:: x चे 6%= 5 + x चे 2%
:: 6×x/100= (5+x)×2/100
6x = (5+x) × 2
:: 6x=10+2x
:: 4x=10
:: x =10/4
= 2.5 लीटर
नमूना सातवा –
उदा. 12 मिनिटांचे 36 सेकंदाशी गुणोत्तर किती?

1:20
100:3
20:1
3:40
उत्तर : 20:1

स्पष्टीकरण :-
12 मिनिटे = 12×60
= 720 सेकंद
:: 720:36 = 20:1
नमूना आठवा –
उदा. 12: x : 27 या तिन्ही संख्या प्रमाणात आहेत, तर x=किती?

24
21
18
14
उत्तर : 18

स्पष्टीकरण :-
तीन संख्या प्रमाणात असल्यास (मध्य पदाचा)2= अत्यंपदांचा गुणाकार
:: x2=12 × 27
:: x = √4×3×3×9
= 2×3×3
= 18

क्लृप्ती :-
12 ची 3/2 पट
= 18,
18 ची पट 3/2 पट
= 27