अंकगणित वर्ग आणि वर्गमूळ

(65)2 = 4225 संख्येच्या शेवटी जर 5 असेल तर वर्गसंख्येच्या शेवटी 25 येतात व दशक स्थानाचा अंक व त्या पुढचा अंक यांच्या गुणाकारांची संख्या लिहावी.

उदा. (65)2 =4225 = (शेवटी 25 लिहून 6 च्या पुढचा अंक 7 घेऊन 6 × 7 = 42 लिहावे).

 दोन अंकी कोणत्याही संख्येचा वर्ग काढताना :-

उदा. (42)2 =(a+b)2 =a2 +2ab + b2 या सूत्राचा वापर करून कोणत्याही संख्येचा वर्ग काढता येतो.

(42)2

यात a=4,b=2

 (42)2 = (40+2)2=1600+2 (40×2)+4

=1600+160+4 = 1764   किंवा

22 = 4 एककस्थानी 4 लिहा.

2(4×2) = 16 चे 6 हातचा 1,

42 चा वर्ग 16   16+1 = 17, याप्रमाणे सूत्रानुसार

    :: √1764 = 42

 लक्षात ठेवा :

1) 1 व 9 च्या वर्गाच्या एककस्थानी 1 असते.

2) 3 व 8 च्या वर्गाच्या एककस्थानी 4 असते.

3) 3 व 7 च्या वर्गाच्या एककस्थानी 9 असते.

4) 4 व 6 च्या वर्गाच्या एककस्थानी 6 असते.

5) 5 च्या वर्गाच्या एकक स्थानी 5 असते.

उदा.√5329 =73 या उदाहरणात एककस्थानी 9 हा अंक आहे. म्हणून वर्ग मुळात 3 किंवा 7 हे अंक येतील.

53 ही संख्या 7 च्या वर्गापेक्षा मोठी आहे. म्हणून वर्गमूळ 73 किंवा 79 असले पाहिजे.

परंतु 70 चा वर्ग = 4900 व 80 चा वर्ग = 6400 आहे. 5329 ही संख्या 4900 ला जवळची, म्हणून 73 हे वर्गमूळ किंवा (75)2= 5625 यापेक्षा 5329 हे लहान आहे.

म्हणून √5329 = 73

नमूना पहिला –

उदा.

खालीलपैकी पूर्ण वर्ग संख्या कोणती?

0.196

19.6

1.96

0.00196

उत्तर : 1.96

ल्कृप्ती :-

पूर्ण वर्गासाठी अपूर्णांकातील स्थळांचे स्थान सम पाहिजे.

नमूना दूसरा-

उदा.

खालीलपैकी कोणती संख्या पूर्ण वर्ग असू शकेल ?

**304

*50

7*38

*765

ल्कृप्ती :-

कोणत्याही वर्ग संख्येच्या एकक स्थानी 1,4,5,6,9,0, हे अंक येतात व संख्येच्या एकक स्थानी 5 असेल. तर संख्येचा दशकस्थानी 2 अंक येतो व संख्येच्या एकेक स्थानी 0 असेल; तर संख्येत शेवटी 2 च्या पटीत शून्य येतात.

नमूना तिसरा –

उदा.

√(26)2-(10)2 =?

4

16

24

48

उत्तर : 24

ल्कृप्ती :-

a2-b2 = (a+b)(a-b) √(26+10)×(26-10)

= √36×16 = 6×4 = 24

नमूना चौथा –

उदा.

81×64=5184, ::√5184=?

62

72

68

78

उत्तर : 72

सूत्र :-

√a2 × b2 = a×b  यासूत्राचा वापर √5184 = √81×64

= √92 × 82 = 9×8

= 72

नमूना पाचवा –

उदा.

√0.0289 =?

1.7

0.17

17

0.017

उत्तर : 0.17

नियम- वर्गमुळात दशांशस्थळे निम्मी होतात

:: √289=17

:: √2.89=1.7  आणि :: √0.0289=0.17

:: √0.000289=0.017

नमूना सहावा-

उदा.

√1.44/x=0.1;  :: x=?

1.44

12

144

14.4

उत्तर : 144

स्पष्टीकरण :-

√1.44/x

=0.1 1.44/x

=(0.1)2 1.44/x

=(0.01)    

:: x= 1.44/0.01=144  

नमूना सातवा –

उदा.  

√21+√10+√36=?

6

2

5

7

उत्तर : 5

स्पष्टीकरण :-

√21+√10+√36

= √21+√10+6

=√21+√16

= √21+4

= √25

=5